Los círculos que se besan, Descartes y la Mecánica Cuántica

El francés René Descartes (1596-1650) no solo fue un filósofo sobresaliente, también era un matemático de categoría. Buena prueba de ellos es su solución al llamado problema de Apolonio de Perga, al que el filósofo griego dedicó todo un volumen que, lamentablemente, se ha perdido. El problema es el siguiente: dados tres círculos, de radios conocidos, tangentes entre sí, o besantes, que se besan, como se dice a veces, ¿Cuál sería el radio del cuarto círculo, tangente a los tres anteriores?

El genio francés, expuso una elegante solución en una carta dirigida en 1643 a la princesa Isabel Carlota del Palatinado, con su correspondiente demostración. Si se define la curvatura k de un círculo como la inversa de su radio (k=1/r), entonces:

El signo más menos nos indica que hay dos soluciones: la de un cuarto círculo exterior tangente a los tres de partida y que los envuelve y la de un cuarto círculo interior.

Es lo que se conoce como el Teorema de los círculos besantes de Descartes. Pero sin embargo, nuestro matemático fracasó al intentar generalizar el problema para cuatro, cinco o más círculos mutuamente tangentes.

El problema ocupó las mentes de los matemáticos más brillantes durante siglos. El británico Frederick Soddy encontró una solución para un círculo más y la  enunció en 1936 en forma de un poema, titulado The Kiss Precise (El beso preciso):
 

For pairs of lips to kiss maybe
Involves no trigonometry.
'Tis not so when four circles kiss
Each one the other three.
To bring this off the four must be
As three in one or one in three.
If one in three, beyond a doubt
Each gets three kisses from without.
If three in one, then is that one
Thrice kissed internally.

Four circles to the kissing come.
The smaller are the benter.
The bend is just the inverse of
The distance form the center.
Though their intrigue left Euclid dumb
There's now no need for rule of thumb.
Since zero bend's a dead straight line
And concave bends have minus sign,
The sum of the squares of all four bends
Is half the square of their sum.

To spy out spherical affairs
An oscular surveyor
Might find the task laborious,
The sphere is much the gayer,
And now besides the pair of pairs
A fifth sphere in the kissing shares.
Yet, signs and zero as before,
For each to kiss the other four
The square of the sum of all five bends
Is thrice the sum of their squares. 

Traducción realizada con ayuda de DeepL.

Para que los pares de labios se besen tal vez
no hace falta trigonometría.
No es así cuando cuatro círculos se besan
cada uno a los otros tres.
Para que eso ocurra los cuatro deben ser
como tres en uno o uno en tres.
Si uno en tres, sin duda
cada uno recibe tres besos de fuera.
Si tres en uno, entonces es que uno
tres veces es besado internamente.

Cuatro círculos a besar vienen.
El más pequeño es el más curvado.
La curvatura es la inversa de
la distancia desde el centro.
Aunque su intriga dejó mudo a Euclides
ahora no hay necesidad de reglas empíricas.
Dado que la curva cero es una línea recta muerta
y las curvas cóncavas tienen signo menos,
la suma de los cuadrados de las cuatro curvas
es la mitad del cuadrado de su suma.

Para espiar los asuntos esféricos
un topógrafo oscular
podría encontrar la tarea laboriosa,
la esfera es mucho más alegre,
y ahora además del par de pares
una quinta esfera el beso comparte.
Sin embargo, signos y cero como antes,
para que cada una bese a las otras cuatro,
el cuadrado de la suma de las cinco curvas
es el triple de la suma de sus cuadrados.

Pero el problema general extendido a n círculos, a n esferas y a n hiperesferas en espacios de m dimensiones —los matemáticos son capaces de pensar en esas cosas— permaneció sin resolver durante casi cuatro siglos.

Hasta que en este año 2025, un equipo de investigadores de la Universidad de Monash (Australia) ha resuelto el enigma utilizando espinores, unos extraños objetos matemáticos, una especie de vectores, utilizados para describir la teoría cuántica del espín y aplicados en Teoría de la Relatividad. Éste es el artículo en el que se explica todo.

En resumen: que unos australianos han aprovechado la Mecánica Cuántica y la Teoría de la Relatividad para resolver un problema que tenía Descartes con una redondeces que se besan.

Publicado por Antonio F. Rodríguez.